2変数の二次関数は、数学において非常に重要な役割を果たします。特に最小値や最大値を求める問題では、その形を理解することが解法への鍵となります。この記事では、2変数の二次関数の基本的な形と、それを使った最小値の求め方について丁寧に解説します。
2変数の二次関数の基本的な形
2変数の二次関数は、次のように表されます：
f(x, y) = ax² + by² + cxy + dx + ey + f
ここで、a, b, c, d, e, f は定数であり、x と y は変数です。この関数は、x と y に関して二次の項を含んでいます。これが「二次関数」と呼ばれるゆえんです。特に、x² や y² が含まれているため、関数は放物線のような曲線を描く特徴があります。
二次関数のグラフとその特徴
2変数の二次関数は、x と y の平面上でグラフを描くと、通常は二次曲面（例えば、楕円、放物面、双曲面など）になります。その形は、a, b, c などの係数によって異なり、最小値や最大値を持つ場所を見つけるためには、その形を理解することが重要です。
例えば、a と b が正であれば、関数は下に凸（最小値が存在）となり、逆に a や b が負であれば、上に凸（最大値が存在）になります。これを元に、関数の最小値や最大値を求める方法を学んでいきます。
最小値を求める方法
2変数の二次関数の最小値を求めるためには、まずその関数の偏微分を使って、x および y に関する一階の導関数を求めます。次に、それらの導関数を0に設定して、x と y の値を求めます。
具体的には、f(x, y) = ax² + by² + cxy + dx + ey + f に対して、偏微分を行い、以下のようにセットします：
∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0
これにより得られる解が、関数が最小値を取る点、すなわち関数の極小点（または最大点）を特定するのに役立ちます。これを求めた後、得られた点が本当に最小値か最大値かを判定するためには、二階の導関数を使って判定することができます。
二次関数の最小値問題の実例
例えば、f(x, y) = 2x² + 3y² − 4xy + 5x − 6y + 7 の場合、まずは偏微分を求めます。偏微分を行い、
∂f/∂x = 4x – 4y + 5、∂f/∂y = 6y – 4x – 6 を得ます。
これらを0に設定して解くと、x = 1, y = 1 という解が得られます。この点が最小値を取る点かどうかは、二階の導関数で確認します。
まとめ
2変数の二次関数は、放物線や二次曲面のような形をしており、その最小値や最大値を求めるためには偏微分を使った解析が必要です。最小値を求めるための基本的なステップとしては、まず偏微分を行い、次にその解を求め、その点が最小値か最大値かを判定します。この方法をしっかりと理解し、具体的な問題に応用することが、数学の最小値問題を解く鍵となります。
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