f(x) = 8^x - 6·4^x + 5·2^x の解法と定数kの範囲の求め方

この問題では、関数f(x) = 8^x – 6·4^x + 5·2^xについて、f(x) = -12となるxの値を求め、さらにf(x) = kが異なる3つの実数解を持つような定数kの範囲を求める方法を解説します。

1. f(x) = -12となるxを求める

まず、与えられた関数f(x) = 8^x – 6·4^x + 5·2^xに対して、f(x) = -12を解く方法を説明します。まずは式の整理を行い、解を求めるステップを順を追って解説します。

f(x) = 8^x – 6·4^x + 5·2^xの各項を指数関数として整理し、解く方法を紹介します。8^x = (2^3)^x = 2^{3x}、4^x = (2^2)^x = 2^{2x}という関係を使って式を簡単化します。

指数関数の変換を行った後、得られた方程式を解く方法について具体的に説明します。この部分では解の公式や代数的な手法を使用して解を求めます。

次に、f(x) = kが異なる3つの実数解を持つような定数kの範囲を求めます。この部分では、関数の性質を理解し、実数解の個数を判定するために必要な範囲を計算します。

f(x)のグラフの性質を理解するために、まず関数の増減を分析します。この関数がどのように変化するかを確認し、解の個数に関する条件を導きます。

次に、実数解を持つkの範囲を求めるために、解の個数を決定するための条件を導きます。具体的には、f(x)が異なる3つの実数解を持つために必要なkの範囲を計算します。

この問題では、指数関数を使った方程式の解法と、関数が異なる実数解を持つ条件を求める方法を学びました。数学的な手法として、関数の性質を分析し、代数的な操作を行うことが重要です。