複素平面における方程式Z^5=1には、幾何的にも代数的にも美しい構造が隠れています。特に、第一象限に存在する解をαとしたとき、他の解がαを用いてα^2,α^3,α^4,そして1で表されるという特徴は、複素数の学習において非常に重要なポイントです。本記事では、この関係がどのように成り立つのかを、図形的イメージと代数的な考え方の両面から解説します。
Z^5=1の解はなぜ5つになるのか
Z^5=1は、複素数平面上で単位円（中心0、半径1）上に存在する複素数のうち、5乗して1になる点を求める問題です。この種の方程式は「n乗根」と呼ばれ、一般にn個の解をもちます。したがってZ^5=1は5個の解をもちます。
さらに特徴として、これらの解は単位円の円周上に等間隔で並び、正五角形の頂点を形づくることが知られています。
解の基本形：オイラーの公式と極形式
複素数Zを極形式で表すと、Z = r( cosθ + i sinθ ) となります。Z^5=1の解はすべて絶対値1なので、r=1です。オイラーの公式を用いると、1は次のように表せます。
1 = cos(2πk) + i sin(2πk) （kは整数）
この式より、Z^5 = 1 の解は次の一般式で表すことができます。
Z = cos(2πk/5) + i sin(2πk/5) （k = 0,1,2,3,4）
第一象限の解をαとしたときの構造
5つの解のうち、必ず1つが第一象限に現れます。この解をαとすると、他の解はαを基準に回転することで表せます。
α が作る角度を 2π/5 とすると、Z^5=1の解は次のように表現できます。
- Z = 1（角度0）
- Z = α（角度2π/5）
- Z = α^2（角度4π/5）
- Z = α^3（角度6π/5）
- Z = α^4（角度8π/5）
これは角度が等間隔になるという性質と、複素数の掛け算が「角度の加算」と対応していることによるものです。
αを基準にすると解が簡潔に表せる理由
α が単位円上の点であり、角度2π/5の回転を表す数であるため、α^2は2回分の回転、α^3は3回分の回転…というように、すべての解をαの累乗で表せます。
つまり、複素数の掛け算＝回転の合成 という性質により、Z^5=1で現れる5つの解がきれいに並び、αの累乗として表せるのです。
具体例で理解する
例えば、5乗根の一つであるαを、次のようにして計算するとします。
α = cos(72°) + i sin(72°)
このとき、α^2 は144°、α^3 は216°、α^4 は288° の位置にくるため、確かに正五角形の頂点が全て表現できます。
まとめ
Z^5=1の解が 1,α,α^2,α^3,α^4 の5つで表せるのは、複素数の極形式と回転の性質が深く関係しています。第一象限の解αを基準にすると、他の解も規則正しく並び、数学的にも幾何的にも理解しやすくなるため、この形が広く用いられています。複素平面の構造を理解するうえで、非常に美しい典型例といえるでしょう。
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