微分の基本的なルールを理解することは、高校数学や大学の数理学習において非常に重要です。特に、合成関数の微分に関する疑問はよくあります。この記事では、f(g(x))’ と f'(g(x)) の違いについて、具体的に解説します。
1. f(g(x))’ の意味
合成関数 f(g(x))’ の微分を求める場合、連鎖法則（チェーンルール）を使用します。この場合、g(x) を内側の関数、f(x) を外側の関数と見なします。具体的には、f(g(x))’ = f'(g(x)) * g'(x) という形で表されます。つまり、まず外側の関数 f(x) を g(x) に関して微分し、その後 g(x) を x に関して微分します。
2. f'(g(x)) の意味
一方、f'(g(x)) は、g(x) を x に関して微分した結果を、外側の関数 f に適用したものです。これは、g(x) の値を外側の関数 f の導関数に代入したものに相当します。この式は、単独では g(x) に関する微分を含んでいません。
3. 両者の違い
f(g(x))’ と f'(g(x)) の違いは、どこで微分を行っているかにあります。f(g(x))’ は、合成関数全体を微分した結果であり、g(x) に関しても微分が含まれています。一方で、f'(g(x)) は、g(x) の値をそのまま外側の関数 f の微分に代入したもので、g(x) の微分は含まれていません。
4. まとめ
f(g(x))’ と f'(g(x)) は見た目が似ていますが、微分の仕方が異なります。前者は合成関数を微分する際に連鎖法則を適用し、後者は外側の関数の導関数に内側の関数 g(x) を代入したものです。この違いを理解することで、微分の問題を解く際の考え方が明確になります。
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