青チャート数学Aの練習問題55における「ロボットAとロボットBが出会う確率」について、なぜ確率が2倍になるのか、2乗されて足される理由が理解できないという質問に対して、今回はその背景を解説します。特に確率の計算での「2倍」や「2乗」される場面について詳しく説明します。
問題の背景と基本的な設定
問題では、ロボットAとロボットBが指定された場所からスタートし、複数の座標を移動します。求めたいのは、ロボットAとロボットBが出会う確率です。この問題において、出会う確率を計算するためには、ロボットAとロボットBが同じ座標に到達する場合を考え、その確率を求めます。
確率を2乗して足す理由
ロボットAがロボットBと同じ座標にいる確率を求めるためには、まずそれぞれのロボットが個別に指定された座標に到達する確率を計算します。その際、ロボットAが特定の座標にいる確率と、ロボットBが同じ座標にいる確率は、独立した出来事として扱われます。
確率が独立しているため、ロボットAがその座標にいる確率と、ロボットBが同じ座標にいる確率を掛け合わせることになります。これにより、2つの確率が掛け算（2乗）されることになります。この方法で得られる確率は、ロボットAとロボットBが特定の座標にいる場合の確率です。
確率の合計と排反性
ロボットAとロボットBが出会う可能性は、彼らが異なる座標で出会う場合をすべて考慮する必要があります。つまり、ロボットAが1つの座標に、ロボットBがその座標にいる確率をすべて足し合わせるわけです。この場合、異なる座標での出会いは排反事象となるため、それぞれの確率を加算することが適切です。
そのため、各座標に対して求めた確率を加算し、その結果に倍の係数を掛けることで、ロボットAとロボットBが出会う全体の確率を求めることができます。
具体的な計算の例
例えば、ロボットAが座標X1にいる確率がP(A1)、ロボットBが座標X1にいる確率がP(B1)だとすると、彼らがX1で出会う確率はP(A1) × P(B1)となります。同様に、他の座標での出会う確率もそれぞれ求め、最後にそれらの確率をすべて足すことで、ロボットAとロボットBがどこかの座標で出会う確率が求められます。
まとめ
ロボットAとロボットBが出会う確率が2倍になる理由は、各座標における確率を掛け算して求め、それをすべて加算することで出会う確率を求めるためです。確率が独立した事象である場合、掛け算によって確率が2乗され、その結果として加算することで最終的な確率が求められます。このように、確率の計算においては、各事象の独立性と排反性を理解することが重要です。
コメント