関数y=x²-2kx+1/2のkの範囲を求める方法：0≦x≦1で0≦y≦1を満たす条件

関数y=x²-2kx+1/2において、0≦x≦1の範囲で0≦y≦1が成り立つようなkの範囲を求める問題について解説します。この問題を解くためには、与えられた条件を満たすkの範囲を求める必要があります。具体的にどのように条件を導出し、kの範囲を求めるのかを、ステップごとに説明していきます。

関数の定義と与えられた条件

まず、与えられた関数は次のようになります：
y = x² – 2kx + 1/2

ここで、xは0≦x≦1の範囲にあり、yの値が0≦y≦1である必要があります。この条件を満たすようなkの範囲を求めることが目標です。

関数y = x² – 2kx + 1/2の範囲を求めるために、まずyの最小値と最大値を求めます。この関数は二次関数であり、放物線の形をしています。

まず、x=0のときとx=1のときのyの値を求めます。これにより、関数の境界でのyの値を求めることができます。

x=0のとき、y = 0² – 2k(0) + 1/2 = 1/2。
x=1のとき、y = 1² – 2k(1) + 1/2 = 1 – 2k + 1/2 = 3/2 – 2k。

これで、関数がx=0とx=1の範囲でどのような値を取るかがわかります。次に、これらの値が0≦y≦1を満たすために必要なkの範囲を求めます。

yの値が0≦y≦1を満たすためには、次の2つの条件が必要です。

すなわち、次の2つの不等式を解く必要があります。

まず、1つ目の不等式3/2 – 2k ≥ 0を解くと、k ≤ 3/4になります。

次に、2つ目の不等式3/2 – 2k ≤ 1を解くと、k ≥ 1/4になります。

したがって、kは次の範囲を満たす必要があります。

1/4 ≤ k ≤ 3/4

関数y=x² – 2kx + 1/2が0≦x≦1の範囲で0≦y≦1を満たすためのkの範囲は、1/4 ≦ k ≦ 3/4です。この範囲内であれば、関数の値は所定の条件を満たすことが確認できました。