単位円を使ってcos(θ – π/3) = -1/√2 を解く方法

数学の問題で「cos(θ – π/3) = -1/√2」という方程式を解く際に、単位円をどう描けばよいのか困っている方も多いでしょう。この記事では、単位円を使った解法を解説し、この方程式をどのように解くかを分かりやすく説明します。

単位円とは？

単位円とは、半径が1の円で、中心が原点(0, 0)にある平面上の円です。この円を使って、三角関数の値を視覚的に理解することができます。単位円上の点の座標は、(cosθ, sinθ)として表され、角度θによってcosθやsinθの値が決まります。

単位円を使うことで、角度θに対応する三角関数の値を簡単に求めることができます。特に、cosθは単位円上の点のx座標に対応し、sinθはy座標に対応します。

問題の解法：cos(θ – π/3) = -1/√2

まず、方程式「cos(θ – π/3) = -1/√2」を解くためには、単位円を使って角度を視覚化することが重要です。まず、θ – π/3 の形になっているため、θの値を求める前に、θ – π/3 の角度がどこに対応するかを確認します。

次に、cos(θ – π/3) = -1/√2の値を考えると、これはcosが-1/√2のときの角度を探すことになります。cosθが-1/√2になるのは、単位円上でx座標が-1/√2の位置にある点です。この角度を求めるために、単位円上で対応する角度を確認します。

単位円上でのcosθ = -1/√2

cosθ = -1/√2は、単位円上でx座標が-1/√2の位置を示します。この値は、45度（π/4）を基準にして、x座標が負になる2つの角度に対応します。具体的には、θ – π/3 = 3π/4 または 5π/4 であることがわかります。

これを使って、θを求めるためにπ/3を足します。すると、θ = 3π/4 + π/3 または θ = 5π/4 + π/3 となります。これを計算すると、θ = 17π/12 または θ = 7π/12 という2つの解が得られます。

まとめ

「cos(θ – π/3) = -1/√2」を解く際には、単位円を使ってcosθが-1/√2の位置に対応する角度を視覚的に確認し、その角度にπ/3を足してθを求めました。最終的な解はθ = 17π/12 または θ = 7π/12となります。単位円を活用することで、三角関数の問題がより直感的に理解できるようになります。