二項分布の確率を正規分布で近似する方法｜x ≧ 95 の確率を求める

この問題では、確率変数xが二項分布(125, n/5)に従うとき、x ≧ 95 である確率を求める方法について解説します。正規分布表を使って、二項分布の確率を近似する手法を学びましょう。

問題の整理

まず、与えられた二項分布に関する情報を整理します。

• n = 125
• p = n / 5 と仮定（つまり、p = 1/5）
• 求める確率：x ≧ 95 となる確率
• 平均と標準偏差を求めてから、正規分布を用いて確率を求めます。

二項分布から正規分布への近似

二項分布を正規分布で近似するために、まず平均と標準偏差を計算します。二項分布の平均と標準偏差は次の式で求められます。

• 平均 (μ) = np = 125 × 1/5 = 25
• 標準偏差 (σ) = √(np(1 – p)) = √(125 × 1/5 × 4/5) = √(125 × 0.8) ≈ √100 = 10

したがって、平均が25、標準偏差が10となります。

正規分布に近似する

次に、求める確率 x ≧ 95 の値を正規分布に近似します。この場合、x = 95 として、標準化を行います。

標準化の式は次の通りです。

z = (x – μ) / σ = (95 – 25) / 10 = 70 / 10 = 7

ここで、z値は7となります。

正規分布表を使って、z = 7 の確率を求めます。z値が7以上の確率は非常に小さいため、実質的にこの確率はほぼ0に近いことがわかります。

まとめ

この問題では、二項分布を正規分布で近似して、x ≧ 95 の確率を求めました。計算の結果、z値が非常に大きくなり、その確率がほぼ0であることが分かりました。この手法は、二項分布の確率を正規分布で近似する方法としてよく使われます。