中学受験の算数問題：式の展開と因数分解の解法

この問題では、与えられた式を展開したり因数分解したりすることで、式の等式を確認します。特に、{a^2-(b+c)a+bc}が-(a-b)(c-a)に変換できる理由を理解することが大切です。以下で、解法のステップを詳しく解説します。

1. 問題の理解

与えられた式は次のようになっています。

(b-c)｛a^2-(b+c)a+bc｝ = -(b-c)(a-b)(c-a)

まずは{a^2-(b+c)a+bc}を簡単に扱える形に変形し、その後で(b-c)をかけることで式が展開できるかを見ていきましょう。

{a^2-(b+c)a+bc}という式に注目します。この式は二項式を展開した形に見えます。まずはaについて整理し、式を因数分解します。

{a^2-(b+c)a+bc} = (a-b)(a-c)

このように因数分解することができます。これがなぜ成り立つのか、次のステップで確認してみましょう。

(a-b)(a-c)を展開すると次のようになります。

(a-b)(a-c) = a^2 – (b+c)a + bc

ここで、もとの式と一致していることが確認できます。このように、{a^2-(b+c)a+bc}は(a-b)(a-c)として因数分解できるのです。

次に、最初の式(b-c){a^2-(b+c)a+bc}に戻ります。この式は以下のように変形できます。

(b-c)(a-b)(a-c)

最終的に、-(b-c)(a-b)(c-a)に等しいことが確認できます。

この問題を解くためには、式の因数分解を適切に行うことが重要でした。式の展開と因数分解の手法を理解することで、問題を解く際のアプローチが明確になります。中学受験の算数では、このような数学的な操作を多く扱うことになりますので、問題に取り組む際は少しずつ手順を踏んで進めていくことが大切です。