2次関数を使った正方形の面積問題の解き方とコツ

2次関数を使った利用系の問題は、特に正方形などの図形に関する問題では少し難しく感じるかもしれません。ですが、公式や解法のコツを押さえれば解ける問題です。この記事では、正方形ABCDに内接する小さな正方形EFGHの面積を求める問題を例に、2次関数を使って解く方法をわかりやすく解説します。

問題の理解と整理

まずは問題をしっかりと理解しましょう。正方形ABCDの辺の長さは10cmで、そこに内接する小さな正方形EFGHがあります。求めるべきは、この内接する正方形EFGHの面積です。この面積を「y cm²」としたとき、yの最小値を求めることが課題です。

正方形EFGHの面積を求めるためには、正方形の辺の長さを求める必要がありますが、これは2次関数を利用して求めることができます。

まず、正方形ABCDの中心を基準にして、EFGHを回転させた状態を考えます。このとき、EFGHの辺の長さを求めるには、回転した角度と辺の関係を使います。具体的には、正方形ABCDの対角線を基準に、内接する正方形EFGHの辺の長さがどのように変化するかを求めます。

次に、正方形EFGHの面積を求めるために、その辺の長さを2乗する必要があります。この辺の長さは、回転角度によって変わるため、2次関数の形を使って表現します。ここで、最小値を求めるために微分を使うと、最小の辺の長さが求まります。

例えば、正方形ABCDの辺の長さが10cmのとき、内接する正方形EFGHの辺の長さを求める式は次のようになります。

辺の長さをxとすると、2次関数の式で表すことができます。微分を使って最小値を求めると、最小のxの値が求まります。この最小値を使って、面積yを求めることができます。最小のxを2乗することで、最小の面積yが得られます。

このような問題を解くコツは、まず問題文をよく読み、与えられた条件を整理することです。次に、問題の中で求められているものが何かを明確にし、必要な公式や方法を使って計算を進めましょう。

特に2次関数を使った問題では、微分や最小値・最大値を求めるテクニックを覚えておくと便利です。また、図形の問題では、図を描いて視覚的に理解することも大切です。問題の解法に慣れることで、同じタイプの問題がスムーズに解けるようになります。

2次関数を使った利用系の問題は、公式をしっかり理解し、微分を使うことで最小値や最大値を求めることができます。正方形の問題も、この考え方を使えば解けるので、基本的な考え方を押さえて練習を重ねていきましょう。問題を解く際は、図形をしっかりと整理してから計算に取り組むことが重要です。