中学受験算数問題の解法：操作による数の変化とその解析

中学受験の算数問題では、数を操作する方法やその変化を理解することが求められます。今回は、特に「操作10」と「操作3」に関する問題を解説します。これらの問題では、数を順番に変化させ、1になるまでの回数を求めるという問題です。この記事では、具体的な問題を解きながら、その解法のポイントを解説します。

1. 操作10の問題

問題の内容は、与えられた整数Nに対して、次の操作を10回連続して行い、1になるまでの操作回数を求めるというものです。

【操作10】その数が10の倍数であれば10で割り、10の倍数でなければ1を引く。

例えば、N = 2025の場合、操作10をどれくらい行えば1になるかを求めます。

2025→2024→2023→2022→2021→2020→201→200→20→2→1という順で操作を行うと、9回の操作で1になります。そのうち、「10でわる」回数は3回、「1をひく」回数は6回です。

操作10を13回行うと1になるNのうち、「10でわる」回数が4回であるNを考えます。このようなNは特定の条件を満たす整数であり、これを求めるためには逆算で考える方法が有効です。逆に考えることで、操作が成立するNを見つけることができます。

次に、操作3に関する問題を解説します。

【操作3】その数が3の倍数であれば3で割り、3の倍数でなければ1を引く。

例えば、N = 123の場合、操作3を8回行うと1になります。

N = 200以下の範囲で、操作3を行って1に到達するまでの回数が最も多い整数を求める問題です。これには、数を順番に操作していくことで、最も回数が多くなるNを見つける必要があります。

操作3を7回行って1になるNの中で、大きい方から16番目の整数を求める問題です。操作3を何回行うかに注目し、順番にNを操作していくことで解を求めます。

これらの問題を解くためのポイントは、与えられた操作を順番に正確に実行することです。また、逆算を使うことで、条件を満たすNを効率的に見つけることができます。

中学受験の算数問題における「操作を繰り返す問題」では、計算力とともに、問題の構造を理解し、効率的に解く方法を考える力が求められます。特に逆算を使った解法は、問題解決の手助けとなるため、覚えておくと良いでしょう。