数学IIの円の方程式：どの方程式が円を表すか？

数学IIの課題で「円の方程式」を求める問題が出てくることがあります。今回は、円の方程式として正しいものを選ぶ問題について解説します。特に、「=がマイナスの時も円と言えるか？」という疑問にも答え、詳しく説明します。

1. 円の方程式の基本

円の方程式は、一般的に次の形で表されます。

x² + y² = r²

ここで、rは円の半径を表します。この方程式では、原点(0, 0)を中心とする円が描かれます。

円の方程式は、標準形以外にもいくつかの形式で表されることがありますが、基本的な構造は同じです。重要なのは、左辺がx² + y²の形であり、右辺が0または半径の二乗であることです。

では、具体的な問題に取り組んでみましょう。以下の方程式が円を表しているかどうかを確認します。

この方程式は円を表しません。x² + y²は常に非負（0以上）であるため、右辺が負の値であることは不可能です。

これは円の方程式です。中心が(0, -2)、半径が2の円です。yの項が(y + 2)になっているだけで、円の中心が移動したことを意味します。

この方程式も円を表します。x² + y²の項がそのままで、他の項（6xと-4y）を整理すれば、円の標準形に変換できます。

これも円の方程式です。右辺に定数13が追加されているだけですが、この式を整理すると円の方程式の形になります。

この方程式も円の方程式ですが、右辺が17となっています。円の方程式に変換するためには、この定数を調整する必要があります。

この方程式も円を表す方程式です。x²とy²の項があり、さらに4xの項があるので、これを整理すれば円の方程式として表せます。

「=がマイナスの時でも円と言えるか？」という質問についてですが、答えは「いいえ」です。円の方程式では、x² + y² = r²の形式で、r²（右辺）は常に非負の値、つまり0以上でなければなりません。右辺が負の場合（例えば、x² + y² = -4のように）は、現実的に円を描くことはできません。

また、「0の時は点になるのか？」という質問についてですが、円の半径が0の場合、円の「大きさ」が0になり、結果として「点」となります。例えば、x² + y² = 0という方程式は、原点(0, 0)のみを表す点になります。

円の方程式は基本的にx² + y² = r²の形をしていますが、移動した中心や別の項が加わるときでも円を表すことができます。重要なのは、右辺が常に0以上であることです。また、0の場合は円ではなく点になります。問題を解く際には、方程式を整理して円の方程式の標準形に直すことが大切です。