微分方程式の解法: (1-y²-y⁴/x²)y’²-2y/x・y’+y²/x²=0

このページでは、微分方程式 (1-y²-y⁴/x²)y’²-2y/x・y’+y²/x²=0 を解く方法について詳しく解説します。特に、x ≠ 0 の条件下での解法に焦点を当て、実際に解くステップを順を追って説明します。

1. 微分方程式の整理

まず、この微分方程式を解くためには式の整理が重要です。元々与えられた方程式は、次のように書き換えることができます。

(1-y²-y⁴/x²)y’² – 2y/x ・ y’ + y²/x² = 0

この式は、y’（yの微分）に関する2次方程式の形をしています。

2. 代入法による解法

微分方程式を解く方法として、代入法が有効です。ここでは、y’を求めるための式に代入していく方法を解説します。

まず、y’²の項を他の項と整理し、必要な代入を行います。この過程で、y’を求めるための具体的な式が得られます。

3. 具体的な計算ステップ

計算過程では、以下の手順でy’を解きます。

1. 式をy’²に関する2次方程式の形に整理します。
2. y’の解を求めます。ここで注意すべきは、微分方程式が2次方程式であるため、y’には複数の解が存在する可能性がある点です。
3. それぞれの解を検証し、適切な解を選択します。

4. 結果の確認とまとめ

最後に、解得られたy’の値を微分方程式に代入して、その解が正しいかを確認します。この確認作業は非常に重要であり、解法が正しいことを確かめるための手順です。

5. まとめ

微分方程式の解法には、代入法や式の整理が欠かせません。この問題においても、代入法によって解を求めることができました。最終的に得られたy’の値を確認することで、解が適切であることを確認しました。