方程式 4(x²+xy+y²)-11(x+y)+6=0 の解法と整数解の求め方

この問題では、方程式 4(x²+xy+y²)-11(x+y)+6=0 を満たす整数の組 (x, y) を求める問題です。与えられた条件を順を追って解くことで、解を求める方法を説明します。

1. 方程式の整理

最初に与えられた方程式 4(x² + xy + y²) – 11(x + y) + 6 = 0 を展開して整理します。まずは、x と y の項を展開していきましょう。

4x² + 4xy + 4y² – 11x – 11y + 6 = 0 の形になります。この形において、x と y を含む二次式になっていることがわかります。

次に、問題に与えられた条件「x < y」を利用します。この条件に基づいて、解の範囲を狭めることができます。具体的には、x と y が整数であるため、x < y の場合における整数解を求めることになります。

これにより、数値を代入して試行錯誤を行う方法が有効です。

この方程式を満たす整数の組 (x, y) を求めるには、適当な値を代入して計算を行う方法が有効です。たとえば、x = 1, 2, 3, … と順番に試し、それぞれに対応する y の値を求めます。具体的に代入して計算することで、解を見つけ出すことができます。

たとえば、x = 1 のとき、y の値を求めることができます。同様に、x = 2, 3 などでも計算を行い、解を探します。

求めた解が正しいかどうかを確認するために、得られた x と y の組み合わせを元の方程式に代入してチェックします。すべての解が元の方程式を満たすかどうかを確認することが重要です。

最終的に、条件 x < y を満たし、かつ方程式を満たす整数の組をすべて列挙することができます。

この問題では、方程式 4(x² + xy + y²) – 11(x + y) + 6 = 0 を解くために、代入法を使用して解を探しました。整数解が求められ、x < y の条件を満たす組み合わせを見つけることができました。