平方根の計算は、高校数学の中でもよく登場するテーマです。特に、√(8+4√3)のような形は、一見複雑に見えますが、あるコツを使うとスッキリと計算できます。この記事では、8+4√3の平方根を求める手順を、わかりやすく解説します。
平方根を求める基本的な考え方
まず、√(8+4√3)をa+b√3という形で表せると仮定します。このように、平方根を2項の形に変形して考えるのが一般的な方法です。
つまり、
√(8+4√3) = a + b√3
とおき、両辺を2乗して比較します。
両辺を2乗して式を整理する
(a+b√3)^2 = a^2 + 2ab√3 + 3b^2 になります。
これが 8+4√3 に等しくなるように、aとbの値を求めます。
係数を比較すると、
a^2 + 3b^2 = 8、
2ab = 4 という2つの式が得られます。
連立方程式を解く
2ab=4 から、ab=2 です。
これを使って、a=2/b とおくと、
(2/b)^2 + 3b^2 = 8 になります。
整理すると、
4/b^2 + 3b^2 = 8
両辺にb^2をかけると、
4 + 3b^4 = 8b^2
3b^4 – 8b^2 + 4 = 0
ここで、x=b^2 とおくと、
3x^2 – 8x + 4 = 0 です。
解の公式を使うと、
x = [8 ± √(64 – 48)] / 6 = [8 ± 4] / 6
よって、x=2 または x=2/3 です。
aとbの値を求める
b^2=2 のとき、b=√2、a=2/b=√2。
また、b^2=2/3 のとき、b=√(2/3)、a=2/b=√6。
どちらも候補になりますが、実際に代入して確認すると、
(√6 + √(2/3)√3)^2 = (√6 + √2)^2 = 8 + 4√3
となるため、正しい答えは次の通りです。
答え
√(8+4√3) = √6 + √2
このように、平方根の中に√があるときは、a+b√nの形において、係数を比較して連立方程式を解くのがポイントです。
まとめ
√(8+4√3) のような式は複雑に見えますが、次のステップを覚えれば簡単に求められます。
- ① a+b√n の形に置く
- ② 両辺を2乗して係数を比較する
- ③ 連立方程式を解いてa,bを求める
この方法は他の類似問題（例：√(7+4√3)など）でも活用できるので、しっかり身につけておきましょう。
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