実数全体Rと有界閉区間I = [a, b]、さらに有界開区間J(i) = (α(i), β(i)) (i = 1, 2, …, m) の関係を考えたとき、I⊂J(1)∪J(2)∪…∪J(m) という条件の下で、Iの分割Δが存在することを示す問題です。この問題を解くためには、区間の分割とその含まれ方の性質を理解することが重要です。この記事では、その証明をどのように進めるかを説明します。
分割の構成とその証明方法
まず、I = [a, b] は有界閉区間であり、各 J(i) = (α(i), β(i)) は有界開区間です。問題の要点は、Iの分割Δで、各小閉区間がJ(1), J(2), …, J(m) のいずれかに含まれるような分割が存在することを示すことです。
ここでは、A = ({α(1), …, α(m), β(1), …, β(m)} ∩ I) ∪ {a, b} と定義し、Aの元を小さい順に並べます。これにより、Aの元をγ(1) = a, γ(2), …, γ(p) = b と表すことができます。このようにして、Aの元に基づいて分割を構成します。
小閉区間の定義と中点の追加
次に、Aの元を使って、Aの元と各区間の中点δ(i) = (γ(i) + γ(i+1)) / 2 を加えた細分Δを作ります。これにより、分割Δはさらに細かくなり、ω(k) = γ(1), δ(1), γ(2), δ(2), …, γ(p) = b のように表されるようになります。
この分割Δでは、各小区間 [ω(k), ω(k+1)] が、Aの元を持つ区間を含み、その区間はJ(i)に完全に含まれることになります。具体的な例として、I = [0, 3], J(1) = (-1, 2), J(2) = (1, 4) という場合、A = {0, 1, 2, 3} の元を使って、[0, 1/2], [1/2, 1], [1, 3/2], [3/2, 2], [2, 5/2], [5/2, 3] というように細かく区間を分割できます。
R^nへの拡張: 高次元の場合
上記の議論はR^nの有界閉区間にも拡張できます。特に、R^2の場合、I = [a, b] × [c, d] としたとき、J(i) = (α(i), β(i)) × (γ(i), δ(i)) のように、第一辺と第二辺それぞれで分割を行います。各小閉区間I(k)は、第一辺と第二辺がそれぞれA1とA2の元を持つように分割され、I(k)はJ(i)に完全に含まれます。
まとめ: 分割ΔとJ(i)の関係
本記事では、実数全体Rの有界閉区間I = [a, b]をJ(1)∪J(2)∪…∪J(m)で分割できることを証明する方法について解説しました。分割Δを作成することで、各小閉区間がJ(i)に含まれることを示し、さらにこの方法をR^nに拡張することができました。これらの概念を理解することで、より高次元の分割問題にも対応できるようになります。
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