写像の合成と単射・全射に関する問題の解法

この質問では、写像f(x) = e^xに対して合成写像f◦gが単射となるための条件と、合成写像h◦fが全射となるための条件を求める問題です。それぞれの問題に対して、詳しい解説を行います。

1. 合成写像f◦gが単射であるためのaの条件

まず、与えられた写像g(x) = x^3 + ax^2 + axに対して、合成写像f◦gが単射であるための条件を考えます。単射であるためには、合成写像f◦gが異なるxに対して異なるyを持つ必要があります。つまり、f(g(x1)) = f(g(x2))となるとき、x1 = x2でなければなりません。

この条件を満たすためには、g(x)が単射であることが必要です。g(x)が単射であるための条件は、g'(x)が常にゼロでないことです。g'(x) = 3x^2 + 2ax + aの解を求め、g'(x) = 0となる解がなければ、g(x)は単射となります。この条件からaの範囲を求めることができます。

次に、合成写像h◦fが全射となるための写像hを考えます。全射であるためには、任意のy ∈ Rに対して、x ∈ Rが存在してf(x) = yとなる必要があります。f(x) = e^xは、y > 0の範囲で定義されるので、hの定義域が(0,∞)である必要があります。

例えば、h(x) = ln(x)という写像を考えると、h(f(x)) = ln(e^x) = xとなり、この合成写像は全射になります。つまり、h(x) = ln(x)は合成写像h◦fが全射であるための一つの例となります。

このように、合成写像の性質を利用して、単射や全射の条件を求めることができます。単射であるための条件は、g(x)が単射であること、全射であるための条件はh(x)の適切な選択です。それぞれの写像が満たすべき条件を理解することで、問題を解決することができます。