積分 ∫0~π θ sin²θ dθ の解き方と途中計算のステップ

積分 ∫0~π θ sin²θ dθ の計算を行う方法を解説します。この積分を求めるためには、三角関数の性質や積分の基本的なテクニックを使用する必要があります。この記事では、途中計算も含めて、積分の手順を分かりやすく説明していきます。

積分式の確認と変形

最初に与えられた積分式は、∫0~π θ sin²θ dθ です。この式を直接計算するのは少し複雑ですが、まずは sin²θ の部分を別の形に変形していきます。三角関数の恒等式を使うと、sin²θ は以下のように表せます。

sin²θ = (1 – cos(2θ)) / 2

これを積分式に代入すると、積分は以下の形になります。

∫0~π θ (1 – cos(2θ)) / 2 dθ

この式は、積分を二つの項に分けることができます。

∫0~π θ / 2 dθ – ∫0~π θ cos(2θ) / 2 dθ

次に、それぞれの積分を計算していきます。

まず、∫0~π θ / 2 dθ を計算します。これは基本的な積分です。

∫0~π θ / 2 dθ = (1/2) ∫0~π θ dθ = (1/2) × [θ² / 2]0~π = (1/2) × (π² / 2) = π² / 4

次に、∫0~π θ cos(2θ) / 2 dθ を計算します。ここでは部分積分を使います。部分積分の公式は以下の通りです。

∫ u dv = uv – ∫ v du

u = θ、dv = cos(2θ) / 2 dθ とおくと、du = dθ、v = (1/4) sin(2θ) となります。

部分積分を行うと。

∫0~π θ cos(2θ) / 2 dθ = (θ / 4) sin(2θ)0~π – ∫0~π (1/4) sin(2θ) dθ

ここで、(θ / 4) sin(2θ)0~π = 0 となり、残りの積分は次のように計算できます。

∫0~π sin(2θ) dθ = [-cos(2θ) / 2]0~π = 0 – (-1/2) = 1/2

したがって、∫0~π θ cos(2θ) / 2 dθ は、- (1/8) × 1/2 = -1/16 となります。

それぞれの積分結果をまとめると。

π² / 4 – (-1/16) = π² / 4 + 1/16 = (4π² + 1) / 16

積分 ∫0~π θ sin²θ dθ の計算は、三角関数の恒等式と部分積分を組み合わせることで解くことができました。最終的な答えは、(4π² + 1) / 16 となります。積分を計算する際は、式の変形や積分方法をうまく活用することが重要です。