線形代数の問題で「Aを2次正方行列とし、E + A, E – A がともに逆行列を持つならば A² = E であることを示せ」という課題があります。この問題を解くためには、行列の逆行列の性質や行列の乗法について理解しておく必要があります。この記事では、この問題をどのように解くか、具体的な手順を解説します。
問題の設定と逆行列の性質
まず、行列Aが2次正方行列であり、E + AとE – Aがともに逆行列を持つという条件から出発します。逆行列の定義により、行列BがAの逆行列であるとは、A×B = E となる行列Bが存在することを意味します。
この問題のキーポイントは、「E + A」と「E – A」が逆行列を持つという条件です。ここから、それぞれがどのような性質を持つのかを理解し、A² = E という結果を導きます。
行列の逆行列の性質を使う
行列E + Aが逆行列を持つということは、E + Aと何らかの行列Bに対して、(E + A) × B = E となる関係が成り立つことを意味します。同様に、E – Aが逆行列を持つ場合も、(E – A) × C = E という関係が成り立つはずです。
これらの情報を使って、E + AとE – Aを掛け合わせてみます。計算を行うと、次のような式になります。
(E + A) × (E – A) = E² – A² = E – A²
式の整理と A² = E の導出
上記の式(E + A) × (E – A) = E – A²を使って、E – A² = Eとなるためには、A² = Eが成り立つ必要があります。このことが示されると、問題の要求に応じたA² = Eが成り立つことがわかります。
したがって、E + AとE – Aが逆行列を持つならば、A² = Eであることが示されます。
まとめ: 行列の逆行列とその性質を活用する
この問題は、行列の逆行列の性質と行列乗法をうまく利用することで解くことができます。E + AとE – Aが逆行列を持つという条件を使って、最終的にA² = Eを導きました。行列の性質を理解し、逆行列を使いこなすことで、同様の問題も効率よく解けるようになります。
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