「nが奇数のとき、n^3-n が24の倍数である」の証明方法：数学的な解法のステップバイステップガイド

「nが奇数のとき、n^3-n は24の倍数である」という命題を証明する方法について詳しく解説します。この命題を証明するには、いくつかの数学的なステップを踏む必要があります。この記事では、その手順とともに解答方法をわかりやすく説明します。

命題の理解と問題の設定

与えられた命題は、「nが奇数のとき、n^3-n は24の倍数である」というものです。ここで、nは奇数整数であり、n^3 – nを計算して、その値が24の倍数であることを証明することが求められています。

まず、nが奇数であるとき、nは2k+1という形で表すことができます。ここで、kは任意の整数です。この形に基づいて計算を進めます。

nが奇数であるため、nを2k+1と置き換えます。このとき、n^3 – nを次のように表すことができます。

n^3 – n = (2k + 1)^3 – (2k + 1)

これを展開して整理すると、以下のようになります。

(2k + 1)^3 – (2k + 1) = (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) – (2k + 1)

ここで、1と-1が打ち消し合うため、式は次のように簡単になります。

8k^3 + 12k^2 + 4k

次に、式を因数分解します。

8k^3 + 12k^2 + 4k = 4k(2k^2 + 3k + 1)

この式は4で割ることができ、残りの部分は2k^2 + 3k + 1です。ここで重要なのは、4kがすでに4の倍数であることです。次に、式が24の倍数であるためには、残りの部分（2k^2 + 3k + 1）が6の倍数である必要があります。

式2k^2 + 3k + 1が6の倍数であるかどうかを確認するために、kの値を偶数と奇数の場合に分けて調べます。

k = 2mとおくと、式は次のようになります。

2(2m)^2 + 3(2m) + 1 = 8m^2 + 6m + 1

この式は明らかに6の倍数ではないため、kが偶数の場合は不成立です。

k = 2m + 1とおくと、式は次のようになります。

2(2m+1)^2 + 3(2m+1) + 1 = 2(4m^2 + 4m + 1) + 3(2m + 1) + 1 = 8m^2 + 8m + 2 + 6m + 3 + 1 = 8m^2 + 14m + 6

この式は6で割り切れるため、kが奇数の場合には2k^2 + 3k + 1が6の倍数であることが確認できます。

以上から、nが奇数のとき、n^3 – n = 4k(2k^2 + 3k + 1)という式において、2k^2 + 3k + 1が6の倍数であるため、n^3 – nは24の倍数であることが証明されました。

したがって、質問に対する解答として、「nが奇数のとき、n^3-n は24の倍数である」と結論できます。