x^4 + x^2 – 2の因数分解について解説

「x^4 + x^2 – 2」の因数分解問題は、多くの学生が挑戦する基本的な数学の問題の一つです。この問題を解くためには、まず式の構造をしっかりと理解することが重要です。ここでは、与えられた式の因数分解の方法を解説し、誤った因数分解のステップを訂正します。

問題の式を理解する

まず、与えられた式「x^4 + x^2 – 2」を見てみましょう。この式は、x^2を新しい変数として置き換えることで、簡単に因数分解できます。一般的なアプローチとして、x^2をyに置き換えることで、式は次のように変形できます。

y^2 + y – 2 となります。これを因数分解すると、(y + 2)(y – 1) となります。

正しい因数分解の方法

y = x^2 と戻すと、元の式は次のように表されます。

(x^2 + 2)(x^2 – 1) となります。次に、(x^2 – 1) をさらに因数分解します。

(x^2 + 2)(x + 1)(x – 1) となります。

これが正しい因数分解です。したがって、最終的な答えは (x^2 + 2)(x + 1)(x – 1) となります。

誤った因数分解の誤り

質問者が提示した因数分解「(x^2 + 1)(x + 1)^2(x – 1)^2」は間違っています。ここでの誤りは、(x^2 + 1) と (x^2 – 1) を同じものとして扱ってしまった点です。x^2 + 1 と x^2 – 1 は明確に異なる式であり、この2つを同じだと見なすことはできません。

また、(x^2 – 1) を (x + 1)(x – 1) に分解することは正しいですが、(x^2 + 1) の部分を誤って (x + 1)^2 (x – 1)^2 のように因数分解することはできません。

まとめ

x^4 + x^2 – 2 の因数分解は、まず x^2 を新しい変数 y として置き換え、その後に因数分解を行うことが最も簡単で効率的な方法です。誤って x^2 + 1 と x^2 – 1 を同じものとして扱うことは避け、適切に因数分解を進めることが重要です。