今回の問題では、整数xに関する連立不等式を解いて、定数aの範囲を求める問題です。具体的には、次の2つの不等式を満たすxの個数が4になるようなaの範囲を求めます。
1. 問題の整理
与えられた連立不等式は次の通りです。
- 7x + 6 < a
- 9x + 1 > 7x + 8
この不等式を順番に解いていき、aの範囲を求める方法を見ていきましょう。
2. 1つ目の不等式の解法
まず、1つ目の不等式「7x + 6 < a」を解きます。この不等式をxについて解くと。
7x < a - 6
x < (a - 6) / 7
したがって、xは(a – 6) / 7より小さい整数である必要があります。
3. 2つ目の不等式の解法
次に、2つ目の不等式「9x + 1 > 7x + 8」を解きます。
まず、両辺から7xを引きます。
2x + 1 > 8
次に、1を両辺から引きます。
2x > 7
x > 7 / 2
したがって、xは3.5より大きい整数、すなわちx ≥ 4です。
4. xの範囲を求める
ここまでの結果を踏まえると、xは次の2つの条件を満たす必要があります。
- x ≥ 4
- x < (a - 6) / 7
xが4以上であり、(a – 6) / 7より小さい整数である必要があります。xの個数が4であるため、(a – 6) / 7の値は8以上である必要があります。すなわち。
(a – 6) / 7 ≥ 8
a – 6 ≥ 56
a ≥ 62
5. 結論
したがって、xが4個の整数を取るためには、定数aの範囲は次のようになります。
a ≥ 62
この範囲において、与えられた連立不等式を満たすxの個数が4となります。
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