この問題では、言語L = {w : N_0(w) = N_1(w) + 2} の生成文法を求めます。ここで、N_i(w)はwに含まれるiの個数を示します。この問題において、Lを生成するあいまいでない文脈自由文法と、あいまいな文脈自由文法を与え、それぞれがあいまいでないこととあいまいであることを示します。
1. 言語Lの定義と問題の理解
言語Lは、文字0の個数が文字1の個数より2つ多い系列からなる集合です。言い換えれば、任意の文字列wについて、wの中の0の個数N_0(w)が1の個数N_1(w)に2を加えた数に等しい場合、その文字列wはLに属します。ここで求めるのは、このLを生成する文脈自由文法で、あいまいでないものとあいまいなものの両方を考えることです。
2. あいまいでない文脈自由文法の構造
あいまいでない文脈自由文法Gを与えるためには、まず、N_0(w) = N_1(w) + 2 を満たす文字列を生成するルールを設計します。この文法のルールは次のように設定できます。
- S → 0S11 | ε
この文法では、非終端記号Sが「0」を1つ、そして「1」を2つ生成します。これによって、言語Lにおける0の個数が1の個数よりも常に2つ多くなることを保証します。具体的な例として、S → 0S11を適用すると、文字列が次のように生成されます：0、011、0011、01111 などです。これらの文字列はすべてLに属します。
3. あいまいな文脈自由文法の構造
次に、Lを生成するあいまいな文脈自由文法G’を与えます。あいまいな文法では、同じ文字列を生成するために異なる導出を持つことが求められます。例えば、次のような文法を考えます。
- S → 0S11 | 0S | ε
この文法では、同じ文字列を異なる方法で生成できます。例えば、S → 0S11とS → 0Sを適用することで、同じ文字列を異なる方法で生成することが可能になります。この場合、言語Lの任意の文字列に対して、複数の導出が可能となり、文法はあいまいとなります。
4. あいまいでない文法とあいまいな文法の違い
あいまいでない文脈自由文法では、1つの文字列に対して唯一の導出があるのに対し、あいまいな文法では、同じ文字列に対して複数の導出が存在します。この違いは、文法の設計において重要な役割を果たし、言語の生成における効率性や理論的な分析に大きな影響を与えます。
5. まとめ
言語L = {w : N_0(w) = N_1(w) + 2} を生成する文脈自由文法について、あいまいでない文法とあいまいな文法の両方を設計し、それぞれがあいまいでないこととあいまいであることを示しました。あいまいでない文法は唯一の導出を提供し、あいまいな文法は複数の導出を提供します。これにより、言語の生成の特性を理解することができます。
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