今回は、与えられた数式「10Σk=3 k^3」の和の求め方について解説します。また、式の変形「10Σk=1 k^3 – 2Σk=1 k^3」の理由も詳しく説明します。まず、この式に登場するΣ記号の意味を理解し、変形がどのように成立するかを順を追って解説します。
1. Σ記号とは？
Σ（シグマ）記号は、数式において「和」を表す記号です。たとえば、「Σk=1 to n k^3」は、kが1からnまでの整数を取ったときのk^3の和を意味します。具体的には、次のように書けます。
- Σk=1 to 3 k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36
- Σk=1 to 4 k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100
このように、Σ記号は繰り返しの和を表すために使われます。
2. 10Σk=3 k^3 とは？
質問文の「10Σk=3 k^3」を解くには、まずΣ記号の意味を正しく理解する必要があります。「10Σk=3 k^3」は、k=3からk=10までのk^3をすべて足す和を意味します。つまり、次のように表すことができます。
- Σk=3 to 10 k^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3 + 10^3
このように、k=3から10までの整数の立方体をすべて足し合わせます。
3. 変形式「10Σk=1 k^3 – 2Σk=1 k^3」の意味
次に、「10Σk=1 k^3 – 2Σk=1 k^3」という式の変形について考えます。まず、左辺の「10Σk=1 k^3」とは、k=1からk=10までのk^3をすべて足した和を意味します。これを展開すると、次のようになります。
- 10Σk=1 k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3 + 10^3
一方、「2Σk=1 k^3」は、k=1からk=2までのk^3を足した和です。つまり、次のように展開できます。
- 2Σk=1 k^3 = 1^3 + 2^3
ここで、式の変形を見てみると、「10Σk=1 k^3 – 2Σk=1 k^3」は、k=3からk=10までのk^3を足し合わせることと同じ意味になります。なぜなら、k=1からk=10までの和からk=1とk=2の和を引けば、k=3からk=10までの和が残るからです。
4. まとめ
「10Σk=3 k^3」の和を求めるためには、まずΣ記号が表す意味を理解し、式を適切に変形して求めることが重要です。「10Σk=1 k^3 – 2Σk=1 k^3」という変形は、k=1からk=10までの和からk=1とk=2を引くことで、k=3からk=10までの和を得ることを意味しています。このように、数式を上手に変形することで計算を簡単にすることができます。
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