整数xに関する不等式「|3 – x| – a < 0」を満たす解の個数が5になるような、正の定数aの範囲を求める問題です。ここでは不等式を解き、その解の個数を計算することで、aの範囲を求めます。
1. 問題の整理
与えられた不等式は次の通りです。
- |3 – x| – a < 0
これを解いていきます。まず、絶対値を含んだ不等式を取り扱う方法を確認しましょう。
2. 絶対値の不等式の解法
絶対値の不等式「|3 – x| – a < 0」を解くためには、まず絶対値の式を2つのケースに分けて考えます。
ケース1: 3 – x ≥ 0 のとき、|3 – x| = 3 – x となります。この場合、不等式は次のように変形します。
3 – x – a < 0
3 – a < x
x > 3 – a
ケース2: 3 – x < 0 のとき、|3 - x| = -(3 - x) となります。この場合、不等式は次のように変形します。
-3 + x – a < 0
x < a + 3
3. xの範囲と解の個数
これらの2つのケースを統合すると、xの範囲は次のようになります。
- 3 – a < x < a + 3
ここで、xが整数であるためには、範囲内の整数の個数が5個になるようにaを決定します。
整数xの個数が5個となるためには、(a + 3) – (3 – a) = 5 である必要があります。
a + 3 – 3 + a = 5
2a = 5
a = 5 / 2
4. 結論
したがって、整数xに対する解の個数が5であるためには、定数aが5/2である必要があります。
この解から、aの範囲を求めることができました。
コメント