余弦定理の3辺から角度を求める式の分母に2bcが来る理由

高校数学

2025.11.10

余弦定理は、三角形の辺と角の関係を示す重要な公式です。この質問では、余弦定理を使って三辺から角度を求める際に、なぜ分母に「2bc」が来るのかについて解説します。

余弦定理とは？

余弦定理は、任意の三角形において、各辺と角度の関係を表す公式です。特に、三辺が分かっている場合に角度を求める際に使用されます。余弦定理は次のように表されます。

c² = a² + b² – 2ab・cos(C)

ここで、a, b, cは三角形の各辺の長さ、Cは角Cです。この公式を使うことで、三辺から角度を求めることができます。

余弦定理を変形することで、三辺から角度を求める式を得ることができます。例えば、角Cを求める場合、次のように変形します。

cos(C) = (a² + b² – c²) / (2ab)

この式の分母に「2ab」が現れる理由は、余弦定理を導出した際に、三辺の関係を維持するためです。具体的には、三角形の辺の長さがどのように角度に影響を与えるかを表すために、「2ab」を使うことで、三辺間の相互作用を正確に示しています。

質問者が疑問に思っている通り、余弦定理の変形後に分母に「2bc」が現れるのは、三角形の辺と角の関係に基づいています。この「2bc」という項は、三角形の形状を適切に反映するための調整項です。辺aとbの長さを掛け合わせたものを分母に入れることで、角度Cの計算が正確になります。

例えば、三辺がa = 5, b = 7, c = 10の三角形の場合、角Cを求める式に代入して計算することができます。

cos(C) = (5² + 7² – 10²) / (2・5・7)

この計算結果から、角Cを求めることができます。このように、余弦定理を使うことで、三辺から正確に角度を求めることができます。

余弦定理を使って三辺から角度を求める際、分母に「2ab」や「2bc」が現れる理由は、三角形の辺の長さの相互作用を正確に示すためです。数学的な理論に基づいて、この項を入れることで、正確な角度の計算が可能になります。