二次関数の値域が一致する時のa、bの値を求める方法

二次関数の値域が一致する時のa、bの値を求める問題について、解法をわかりやすく解説します。この問題では、与えられた二つの関数f(x)とg(x)の値域が一致する条件から、aとbの具体的な値を求めることが求められています。

問題の確認
解法のアプローチ
f(x)の値域を求める
まとめ

問題の確認

問題は次のように与えられています。二つの関数f(x) = -2x² + 2ax + b と g(x) = x² – 4x + 3があり、範囲 -2≦x≦3で、f(x)とg(x)の値域が一致する時、aとbの値を求めるというものです。さらに、a ≧ -4の条件もついています。

解法のアプローチ

まず、f(x)とg(x)の値域が一致するということは、それぞれの関数が同じ最大値と最小値を持つことを意味します。そのため、f(x)とg(x)の最大値と最小値を求め、それらが一致するようにaとbを決定します。

g(x)の値域はまず計算します。g(x) = x² – 4x + 3の最小値を求めるために、平方完成を行います。g(x) = (x-2)² – 1となるため、x = 2の時に最小値-1を取ります。この範囲での最大値はg(x) = x² – 4x + 3をx = -2およびx = 3で評価して求めます。

f(x)の値域を求める

次に、f(x)の値域を求めます。f(x) = -2x² + 2ax + bの最大値と最小値を求めるために、f(x)の頂点の位置を求めます。f(x)は二次関数であるため、頂点のx座標はx = -a/2となります。これを元にf(x)の最大値と最小値を求め、それらがg(x)の値域と一致するようにaとbを決定します。

具体的には、f(x)とg(x)の最大値と最小値が一致するように、aとbの関係式を立てて連立方程式を解くことで、aとbの値を求めることができます。