tを正の実数としたときの2直線の交点の軌跡を求める方法

この問題では、tを正の実数としたときに与えられた2直線の交点の軌跡を求める方法について解説します。具体的には、以下の2つの直線方程式を使います。

1. (t – 1)x – y + 1 = 0

2. tx + (t – 2)y + 2 = 0

1. 方程式の整理

まず、与えられた方程式を整理して交点を求める準備をします。直線1と直線2の交点を求めるために、代入法または加減法を使用することができますが、ここでは代入法を使います。

直線1をyについて解きます。

(t – 1)x – y + 1 = 0 → y = (t – 1)x + 1

次に、得られたyの式を直線2の方程式に代入します。

tx + (t – 2)((t – 1)x + 1) + 2 = 0

この式を展開して整理します。

tx + (t – 2)(t – 1)x + (t – 2) + 2 = 0

これをさらに展開します。

tx + (t^2 – 3t + 2)x + (t – 2) + 2 = 0

次にxの項をまとめます。

(t + t^2 – 3t + 2)x + t = 0

(t^2 – 2t + 2)x + t = 0

交点のx座標を求めるためには、上記の方程式をxについて解く必要があります。

(t^2 – 2t + 2)x = -t

x = -t / (t^2 – 2t + 2)

次に、y座標を求めるために、先ほど解いたxの式をy = (t – 1)x + 1に代入します。

y = (t – 1)(-t / (t^2 – 2t + 2)) + 1

この式を整理してyを求めることができます。

最後に、求めたxとyの式を使って、交点の軌跡を描きます。これにより、与えられた2直線の交点がどのように変化するかを視覚的に確認することができます。

このように、2直線の交点の軌跡を求める問題では、まず式を整理し、代入法や加減法を使って交点の座標を求めます。その後、得られた座標を用いて交点の軌跡を描くことができます。定期的にこのような方法を練習することで、より多くの問題に対応できるようになるでしょう。