この問題では、不等式 |x – a| < x + 1 を満たす実数 x が存在するための定数 a の範囲を求める問題です。具体的な手順に従って、x と a の関係を解説していきます。
不等式の解法の概要
まず、不等式 |x – a| < x + 1 の解法を進めるためには、絶対値を含む不等式を分解していく必要があります。絶対値の定義に基づき、x - a の値に応じて2通りの場合を考えます。
絶対値不等式の分解
絶対値 |x – a| は、x – a が正の場合と負の場合で式が異なります。以下の2つのケースに分けて考えます。
- x – a ≥ 0 の場合: |x – a| = x – a となり、式は x – a < x + 1 となります。
- x – a < 0 の場合: |x - a| = -(x - a) となり、式は -(x - a) < x + 1 となります。
ケースごとの解法
1つ目のケースでは、x – a < x + 1 を解くと、a > -1 という条件が得られます。2つ目のケースでは、-(x – a) < x + 1 を解くと、a < 2 という条件が得られます。
aの範囲
したがって、a の範囲は -1 < a < 2 となります。この範囲内であれば、不等式 |x - a| < x + 1 を満たす実数 x が存在することがわかります。
まとめ
今回の問題では、不等式 |x – a| < x + 1 を満たす a の範囲は -1 < a < 2 であることが求められました。このように、絶対値を含む不等式は、条件をケースごとに分けて解くことが重要です。
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