x = cosθ と y = sinθ の関係と x² + y² = 1 の同値性

この記事では、x = cosθ および y = sinθ が成り立つθ（0≦θ<2π）に関して、なぜ「をみたすθ（0≦θ<2π）が存在すること」と記載されているのかについて、数学的な観点から解説します。

1. x = cosθ と y = sinθ の関係
2. x² + y² = 1 との同値性
3. なぜ「をみたすθ（0≦θ
4. まとめ

1. x = cosθ と y = sinθ の関係

まず、x = cosθ および y = sinθ の式に関して理解するべき点は、θ が角度であり、cosθ と sinθ がそれぞれ円周上の座標を表すことです。この式は、単位円（半径1の円）上で点(x, y)がθの角度に対応する位置にあることを示しています。

具体的には、θ は [0, 2π) の範囲で取り得る角度であり、この範囲のθに対して、cosθ と sinθ は単位円の上でx座標とy座標を表現します。したがって、この関係が成り立つためには、θ が [0, 2π) の範囲内で変化することが必要です。

2. x² + y² = 1 との同値性

x = cosθ および y = sinθ が成り立つとき、x² + y² = cos²θ + sin²θ となります。この式は、三角関数の基本的な恒等式であり、cos²θ + sin²θ = 1 であることが知られています。このため、x² + y² = 1 が成り立ちます。

これは、単位円上のすべての点がこの条件を満たすため、x = cosθ および y = sinθ が成り立つθに対して、x² + y² = 1 という関係が自然に得られることを意味します。したがって、この式は θ が [0, 2π) の範囲で成り立つことを示しています。

3. なぜ「をみたすθ（0≦θ

質問の中で言及されている「をみたすθ（0≦θ<2π）が存在すること」という言葉は、数学的な文脈で重要な意味を持っています。x = cosθ および y = sinθ の関係は、θ の範囲を指定しなければ、無限に多くのθに対して成り立つことになりますが、ここで述べられているように、θ の範囲は 0 ≦ θ < 2π と限定されます。

この制約がつけられる理由は、単位円において cosθ と sinθ の値が周期的であり、θ が [0, 2π) の範囲であれば一周して元の点に戻るためです。このため、この範囲内で θ に対して x = cosθ および y = sinθ が成立する点が唯一的に存在することが保証されます。