数学の合同式と余りの求め方【京大2023理系の問題解説】

この問題は、合同式を用いて多項式の余りを求める問題です。特に、与えられた式に対してどのように合同式を使って簡単に解くかについて解説します。

1. 問題の理解と合同式の基本

まず、問題にある式「x²⁰²³-1」をx⁴+x³+x²+1で割った余りを求めるためには、与えられた合同式の法則を使います。合同式は整数の間で計算する方法で、式を単純化するのに非常に有用です。

具体的には、x⁵≡1(mod x⁴+x³+x²+1)を使い、x²⁰²³-1を簡単に表現する方法を見ていきます。

まず、x⁵≡1という事実を用いて計算します。この合同式は、x⁵が1に合同であることを意味しており、これを利用すると、x²⁰²³もx⁵の倍数として考えることができます。したがって、x²⁰²³≡x³(mod x⁴+x³+x²+1)となります。

そのため、x²⁰²³-1≡x³-1(mod x⁴+x³+x²+1)と簡単に表現することができます。

次に、x³⁰を(x+1)³で割った余りを求める問題について解説します。この問題では、まず(x+1)³≡0(mod x+1)から始め、x≡-1となることを確認します。しかし、このように設定した場合、x³⁰≡1ではなく、誤りが生じる理由があります。

実際には、x≡-1が成り立つ場合でも、合同式においては計算を慎重に行う必要があります。合同式を単純化する際の注意点を踏まえて、正しいアプローチを解説します。

合同式を正しく使うためには、式の簡略化方法や法則を理解し、正確に適用することが大切です。特に余りを求める問題では、法則の適用範囲に注意しながら解く必要があります。問題に対してどの法則を使うべきかをしっかり理解し、計算を進めることが重要です。

今回の問題を通して、合同式を使用して多項式の余りを求める方法について学びました。x⁵≡1やx≡-1を使う際の注意点をしっかり理解し、適切に適用することで問題を解決できます。