数学の問題でよく見かける三角関数の式、特にcos(π+θ) = −cosθ と cos(π−θ) = −cosθについて、理解が難しいことがあります。この記事では、これらの式が同じ意味なのか、またcos(π−θ) = −cosθが成り立つのかを解説し、さらに計算方法を詳しく説明します。
1. cos(π+θ) = −cosθ と cos(π−θ) = −cosθの違い
まず、cos(π+θ) = −cosθ と cos(π−θ) = −cosθが同じ意味かどうかを考えます。これらは見た目は似ていますが、実際には異なる式です。
1つ目の式「cos(π+θ) = −cosθ」は、三角関数の加法定理に基づいています。具体的には、cos(π+θ) は cosπ・cosθ − sinπ・sinθ に分解できます。cosπ = -1、sinπ = 0 なので、式は cos(π+θ) = −cosθ になります。
2. cos(π−θ) = −cosθ の証明
次に、cos(π−θ) = −cosθが成り立つかを証明します。こちらも三角関数の加法定理を利用します。cos(π−θ)は、cosπ・cos(−θ) − sinπ・sin(−θ) と分解できます。
cosπ = -1、sinπ = 0 なので、cos(π−θ) = −cos(−θ) となり、さらに cos(−θ) = cos(θ) という偶関数の性質により、最終的に cos(π−θ) = −cosθ となります。
3. cosC = cos{π−(A+B)} = −cos(A+B)の解き方
質問文にある「cosC = cos{π−(A+B)} = −cos(A+B)」という式は、前述のcos(π−θ) = −cosθを利用しています。式を展開すると、cos{π−(A+B)} は cosπ・cos(A+B) − sinπ・sin(A+B) に分解でき、cosπ = -1、sinπ = 0 を使うことで、最終的に cosC = −cos(A+B) が成り立つことが分かります。
4. 結論
cos(π+θ) = −cosθ と cos(π−θ) = −cosθは、式の形は似ているものの、実際には異なる三角関数の性質を利用した式です。どちらも三角関数の加法定理を使用して導くことができ、同じような形になることがわかります。
また、「cos(π−θ) = −cosθ」については成り立つことが証明でき、数学的に正しい式であることが確認されました。このような三角関数の性質をしっかりと理解することで、他の問題にも役立てることができます。
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