絶対値記号の方程式の解法：│x+1│+│x-3│=0の解き方と規則性

絶対値を含む方程式の解法は、条件分岐を適切に考慮する必要があります。特に、│x+1│+│x-3│=0のような式では、いくつかのケースに分けて解くことが重要です。本記事では、この種の問題の解法をわかりやすく解説し、規則性についても説明します。

絶対値記号の基本的な考え方

絶対値記号│a│は、aが正の数ならばそのままaを取りますが、aが負の数ならばその符号を反転させた値を取ります。したがって、絶対値記号を含む方程式を解く際には、式が成り立つための条件を場合分けで考える必要があります。

まず、│x+1│+│x-3│=0の式を解くためには、xの値によって以下の4つのケースに分ける必要があります。これらのケースは、xがそれぞれの絶対値内でどのような符号を持つかによって変わります。

① x+1≧0 かつ x-3≧0 の場合：x ≧ -1 のとき

② x+1≧0 かつ x-3<0 の場合：-2 < x ≦ -1 のとき

③ x+1<0 かつ x-3≧0 の場合：-2 ≦ x < -1 のとき

④ x+1<0 かつ x-3<0 の場合：x < -2 のとき

この方程式では、各場合において絶対値を外した式を作り、条件を満たすxの値を求めます。具体的には、各条件に従って、xがどの範囲で成り立つかを確認することがポイントです。

例えば、x ≧ -1の場合には、│x+1│=x+1、│x-3│=x-3となり、方程式は(x+1) + (x-3) = 0となります。この式を解くことで、xの値を求めることができます。

質問者が言及していた≦の位置に関する規則性については、方程式の条件分岐における符号によって異なります。例えば、x+1≧0のときは≦が成り立たない場合がありますが、xが負の値を取る場合には符号が逆転し、≦が適用されることもあります。

また、各ケースを解いた後、最終的に得られるxの範囲は交差することがないため、重複した解が出ない点にも注目が必要です。

実際に、方程式│x+1│+│x-3│=0を解く場合、まずはxの範囲を確認します。

① x ≧ -1 の場合、方程式はx+1 + x-3 = 0 となり、解はx = 1となります。

② -2 < x ≦ -1 の場合、方程式は-(x+1) + (x-3) = 0 となり、解はx = -2となります。

絶対値記号を含む方程式は、解法において場合分けを行い、各条件に適した計算を行うことが重要です。特に、条件分岐の規則性に従いながら解くことで、誤解を避け、正しい解を導くことができます。今回紹介した方法を使って、他の絶対値を含む方程式にも適用してみましょう。