三角関数の周期性について、特にコサイン関数の周期についてはよく質問が寄せられます。ここでは、y = 2cosθ の周期がなぜ 2π であるかを解説します。
コサイン関数の基本的な周期
まず、cosθ の基本的な周期は 2π です。これは、θ が 0 から 2π まで変化すると、コサイン関数がその値を1周期で繰り返すことを意味します。したがって、cosθ は θ が 2π 進むごとに、同じ値を再び取ります。
y = 2cosθ の周期について
次に、y = 2cosθ の関数を見てみましょう。この式は、単に cosθ の値を 2 倍にスケールしたものです。スケール係数は関数の振幅を変化させますが、周期には影響を与えません。したがって、y = 2cosθ の周期は、cosθ の周期と同じく 2π となります。
周期とは何か？
周期とは、関数の値が最初と同じ値を再度取るまでに必要な入力の量です。cosθ の場合、θ の値が 2π 進むと、関数の値は最初の値に戻ります。この性質が周期性の基本であり、y = 2cosθ においても、周期は変わらず 2π です。
最小値と周期
y = 2cosθ の最小値は、cosθ が -1 のときに達成されます。このとき、y = 2 × (-1) = -2 となり、最小値は -2 です。しかし、周期に関しては、y = 2cosθ の最小値が 2π であるというわけではなく、単にコサイン関数の周期が 2π であるため、y = 2cosθ の周期も 2π となるだけです。
まとめ
y = 2cosθ の周期が 2π である理由は、元の cosθ の周期が 2π だからです。関数の振幅を変更する 2 という係数は周期に影響を与えません。したがって、y = 2cosθ の周期も 2π となります。
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