高校数学の問題でよく出題される絶対値を含む不等式の解き方について解説します。ここでは、具体的に「|3x-2|=1」と「|2x+5|＜3」の2つの不等式を解く方法を紹介します。
絶対値とは？
絶対値とは、数が0からどれだけ離れているかを示す非負の値です。例えば、|3| = 3、|-3| = 3のように、数がプラスでもマイナスでもその距離は同じです。絶対値を含む方程式や不等式を解く際には、その定義を元に2つのケースを考えます。
|3x-2|=1 の解法
「|3x – 2| = 1」という式を解くためには、絶対値の定義に従い、次の2つのケースを考えます。
- 3x – 2 = 1
- 3x – 2 = -1
まず、1つ目のケース「3x – 2 = 1」を解きます。
3x = 3 → x = 1
次に、2つ目のケース「3x – 2 = -1」を解きます。
3x = 1 → x = 1/3
したがって、「|3x – 2| = 1」の解は、x = 1 と x = 1/3 です。
|2x+5|＜3 の解法
次に、「|2x + 5| ＜ 3」の解き方を考えます。この場合も絶対値の定義に従い、2つのケースを考えます。
- 2x + 5 < 3
- 2x + 5 > -3
まず、1つ目のケース「2x + 5 < 3」を解きます。
2x < -2 → x < -1
次に、2つ目のケース「2x + 5 > -3」を解きます。
2x > -8 → x > -4
これらを組み合わせると、「-4 < x < -1」となります。
解の範囲の確認
それぞれの解を整理すると、次のようになります。
- |3x – 2| = 1 の解：x = 1 または x = 1/3
- |2x + 5| ＜ 3 の解：-4 < x < -1
これにより、絶対値を含む不等式の解法が明確になりました。絶対値の問題は、ケース分けをして解くことで解決できます。
まとめ
絶対値を含む不等式を解く際には、その定義に従ってケース分けを行い、それぞれのケースを解くことで解が求められます。「|3x – 2| = 1」の解はx = 1とx = 1/3、「|2x + 5| ＜ 3」の解は-4 < x < -1という結果になります。これらの方法を理解し、練習を重ねることで、絶対値を含む不等式の問題をしっかり解けるようになります。
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