中学生の数学の問題でよく出てくる連立方程式の問題を解説します。今回は、ある2桁の整数の十の位と一の位の数字に関する問題です。まず、問題を整理し、連立方程式を使って解く方法を紹介します。
1. 問題の整理
問題は、次の内容です。
- ある2桁の整数の十の位と一の位の数字は11である。
- 十の位と一の位の数を入れ替えると、その整数が元の整数より45小さくなる。
この問題では、元の整数とその数の各位の数字を使って連立方程式を立て、解を求めます。
2. 十の位と一の位をそれぞれxとyとおく
まず、整数の十の位と一の位をそれぞれxとyとしておきます。整数を次のように表すことができます。
元の整数 = 10x + y
そして、数字を入れ替えた整数は、
入れ替えた整数 = 10y + x
この2つの式を使って連立方程式を立てます。
3. 連立方程式の作成
次に、問題の条件から連立方程式を作ります。まず、「元の整数より45小さい」という条件から次の式を得られます。
10y + x = 10x + y – 45
この式を整理すると。
10y + x – y – 10x = -45
9y – 9x = -45
これを簡単にすると。
y – x = -5 （式1）
次に、十の位と一の位の合計が11であるという条件から次の式が得られます。
x + y = 11 （式2）
4. 連立方程式を解く
この2つの連立方程式を解きます。式1は「y – x = -5」、式2は「x + y = 11」です。
まず、式1からyをxで表すと。
y = x – 5
このyの値を式2に代入すると。
x + (x – 5) = 11
式を整理すると。
2x – 5 = 11
2x = 16
x = 8
これで、x = 8が求まりました。次に、xの値を式2に代入してyを求めます。
8 + y = 11
y = 3
5. 答えを確認する
x = 8、y = 3のとき、元の整数は。
10x + y = 10(8) + 3 = 83
入れ替えた整数は。
10y + x = 10(3) + 8 = 38
確かに、83 – 38 = 45ですので、答えは正しいです。
6. まとめ
この問題は、連立方程式を使って解くことで解決できました。まず、整数の十の位と一の位をそれぞれxとyとして式を立て、その後、与えられた条件に基づいて連立方程式を解きました。最終的に、元の整数は83であることがわかりました。
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