大学数学の問題において、極座標系を用いた偏微分の計算方法について解説します。問題では、R^2の極座標変換が与えられ、f(x,y)がrの一変数関数g(r)として表される時に、δ²f/δx²をδ²g/δr²やδg/δr、およびr、θを用いて表す方法を求めています。これを順を追って解説します。
極座標系の変換と定義
まず、極座標系における変換を理解しましょう。与えられた変換式は、次のように表されます。
x = r cos(θ) と y = r sin(θ)
ここで、rは原点からの距離、θはx軸との角度を示します。関数f(x, y)がrの一変数関数g(r)に書き換えられるということは、f(x, y) = g(r) = g(√(x² + y²)) と書き換えられることを意味します。これは、xとyの関係をrとθに置き換えた形です。
偏微分の計算方法
次に、求めるべき偏微分の計算方法を見ていきます。問題では、δ²f/δx²を求めることが要求されていますが、まずはf(x, y)をrの関数g(r)として表現することから始めます。
g(r)がC²級であると仮定しているので、まずf(x, y)の偏微分をrに関する偏微分に変換する必要があります。xの偏微分とrの偏微分を組み合わせて計算することで、g(r)をθとrの関数で表現できます。
δ²f/δx² の計算過程
偏微分の公式を適用して、δ²f/δx²を計算します。f(x, y) = g(r) を利用し、次のような変換を行います。
- δf/δx = (δf/δr)(δr/δx)
- δ²f/δx² = (δ/δx)(δf/δx)
ここで、r = √(x² + y²) なので、xについての微分が必要となります。具体的には、δr/δx = cos(θ) となり、これを使って最終的にδ²f/δx²を求めることができます。
r, θを用いた偏微分の表現
最終的に、δ²f/δx²をrとθを使って表現するには、θに関する微分を考慮に入れ、rに関する微分を使って、θの影響を加味する必要があります。この過程では、g(r)の2階微分やrに関する偏微分が重要な役割を果たします。
まとめ
R^2の極座標変換を用いた偏微分の計算は、xとyの関係をrとθに変換し、それを基にして偏微分を計算するプロセスです。δ²f/δx²をrとθを使って表現するには、rに関する偏微分を計算し、θに依存した微分項を考慮に入れる必要があります。これにより、求めるべき偏微分の式を明確に導くことができます。
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