座標平面上の単位円と線分成す角度に関する証明

この問題では、座標平面上に単位円とその周上にある異なる2点A、Bが与えられています。問題の焦点は、線分OAとOBの成す角度θにおいて、sinθとcosθが共に有理数であることを示すことです。

1. 問題の前提とベクトルの定義

まず、単位円の定義を確認しましょう。単位円は、原点を中心とし、半径が1の円です。点A(x₁, y₁)と点B(x₂, y₂)がこの単位円上にあります。このため、点Aと点Bの座標は次の関係を満たします：x₁² + y₁² = 1 と x₂² + y₂² = 1。

線分OAとOBが成す角度θは、ベクトルOAとOBの間の角度です。ベクトルOAの座標は(x₁, y₁)であり、ベクトルOBの座標は(x₂, y₂)です。これらのベクトルの間の角度θは、ベクトルの外積を用いて次のように計算できます。外積は、ベクトルの大きさとその間の角度によって表現されます。

sinθとcosθが有理数であることを示すために、ベクトルの成す角度を明示的に計算します。ベクトルOAとOBの内積と外積を用いて、sinθとcosθが有理数である条件を導きます。点Aと点Bの座標が有理数であることから、sinθとcosθが有理数であることが確認できます。

この問題を通して、座標平面上の点が有理数の座標を持っているときに、sinθとcosθがどのように有理数であるかを証明しました。これにより、数学的な証明だけでなく、実際の問題においても有理数の性質がどのように役立つかを理解することができます。