高校数学：三角関数の公式sin(θ−π) ＝ −sin(π−θ) ＝−sinθ と cos(θ−π) ＝ cos(π−θ) ＝ −cosθ の解説

今回は、三角関数の問題でよく出る2つの式、sin(θ−π) ＝ −sin(π−θ) ＝−sinθ と cos(θ−π) ＝ cos(π−θ) ＝ −cosθ の解き方を詳しく解説します。

1. sin(θ−π) = −sin(π−θ) の証明

まず、sin(θ−π) について考えます。三角関数の加法定理に基づき、sin(A − B) は以下のように展開できます。

sin(A − B) = sinA cosB − cosA sinB

これを使って、sin(θ−π) を展開します。

sin(θ−π) = sin(θ) cos(π) − cos(θ) sin(π)

ここで、cos(π) = −1 と sin(π) = 0 であることを代入すると。

sin(θ−π) = sin(θ)(−1) − cos(θ)(0)

結果として。

sin(θ−π) = −sin(θ)

次に、−sin(π−θ) を考えます。同じく加法定理を使用して。

sin(π−θ) = sin(π) cos(θ) − cos(π) sin(θ)

sin(π) = 0 と cos(π) = −1 を代入すると。

sin(π−θ) = 0 × cos(θ) − (−1) × sin(θ)

これにより。

sin(π−θ) = sin(θ)

したがって。

−sin(π−θ) = −sin(θ)

よって、sin(θ−π) = −sin(π−θ) = −sin(θ) が成立します。

2. cos(θ−π) = cos(π−θ) = −cosθ の証明

次に、cos(θ−π) と cos(π−θ) を考えます。まず cos(θ−π) を加法定理を使って展開します。

cos(θ−π) = cos(θ) cos(π) + sin(θ) sin(π)

ここで、cos(π) = −1 と sin(π) = 0 を代入すると。

cos(θ−π) = cos(θ)(−1) + sin(θ)(0)

結果として。

cos(θ−π) = −cos(θ)

次に cos(π−θ) を考えます。

cos(π−θ) = cos(π) cos(θ) + sin(π) sin(θ)

これにより。

cos(π−θ) = (−1) cos(θ) + (0) sin(θ)

したがって。

cos(π−θ) = −cos(θ)

したがって、cos(θ−π) = cos(π−θ) = −cos(θ) が成立します。

3. まとめ

これで、問題の式がなぜ成立するのかが明確になりました。sin(θ−π) = −sin(π−θ) = −sin(θ) と cos(θ−π) = cos(π−θ) = −cos(θ) は、三角関数の加法定理を使用することで証明できました。このように、三角関数の基本的な性質を理解することで、数学の問題もスムーズに解けるようになります。