この問題では、座標平面上に配置された2つの円、円Aと円Bが放物線y=x²と接している条件をもとに、それぞれの半径を求める方法について考察します。円Aと円Bの中心と半径が与えられた際に、それぞれが放物線と接し、互いに外接するという条件をどう満たすかを解説します。
問題の設定と条件の整理
円Aは中心が(0,a)で半径r、円Bは中心が(0,b)で半径sです。両者は放物線y=x²と相異なる2点で接し、さらに互いに外接しています。ここで求めたいのは、円Aと円Bの半径の関係を表す式です。
また、0 < a < bという条件も与えられています。この設定のもとで、円の半径の関係を導き出すために、放物線との接点や接線、円同士の外接条件を利用する必要があります。
放物線との接触条件
放物線y=x²との接触条件について説明します。円が放物線と接するためには、円の接線が放物線の接点で一致する必要があります。つまり、円Aと円Bは放物線と接する2点を持ち、それぞれで接線が一致する必要があります。
この条件を満たすためには、円の半径と接点の位置に基づいて、接線の傾きや接触点の座標を求める必要があります。放物線の接点から、接線の方程式を導出し、それを利用して円の半径に関する式を立てることができます。
円Aと円Bの外接条件
円Aと円Bが外接している場合、円Aと円Bの中心間の距離は、円Aの半径rと円Bの半径sの和に等しくなります。この関係式を利用して、円Aと円Bの半径の関係を求めることができます。
円の外接条件を数式にすると、次のようになります：
中心間の距離 = r + s
この式をもとに、円Aと円Bの半径rとsの関係を導きます。
問題の解法
まず、放物線y=x²との接触点を求め、接線の方程式を求めます。その後、円Aと円Bが放物線と接している2点で接線が一致する条件を立てます。さらに、円Aと円Bの外接条件をもとに、rとsの関係式を求めます。
まとめ
この問題では、円Aと円Bが放物線と接する条件と外接する条件を利用して、半径の関係式を導出しました。放物線との接触条件や接線の計算、円同士の外接条件を用いることで、円の半径rとsの関係を明確に求めることができました。
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