長方形の図形問題 – AHの長さがacosθになる理由

数学Aの図形と計量の問題で、長方形ABCDにおいて、AB=a、∠ADB=θとし、Aから対角線BDに下ろした垂線AHの長さがacosθになる理由について解説します。この記事では、この問題の解法とその背後にある三角比の関係をわかりやすく説明します。

問題の整理と図形の特徴

問題では、長方形ABCDにおいて、AB=aであり、∠ADB=θです。Aから対角線BDに垂線AHを下ろしたとき、このAHの長さがacosθになることを示すのが課題です。まず、図形を確認して、与えられた情報に基づいて関係を整理します。

長方形ABCDでは、対角線BDがあり、∠ADBはθです。垂線AHは、AからBDに下ろした垂直な線分です。この時、AHの長さが求められるわけですが、この問題では三角比を使って解くことになります。

まず、∠ADB=θが与えられています。この三角形ADBにおいて、AHはBDに垂直に下ろされたため、三角形ADBは直角三角形です。ここで、sinθやcosθの定義を用います。

三角形ADBにおいて、sinθは次のように表せます。

sinθ = AH / AD

また、ADは長方形の対角線の長さで、ピタゴラスの定理を使うと、AD = √(AB² + BD²)となります。ここで、ABは長方形の一辺でaです。そして、BDの長さも、ABとACが直角を成すため、BD = √2 * a となります。

ここで、sinθを使ってAHの長さを求めると、次のようになります。

sinθ = AH / (√2 * a)

したがって、AH = a * cosθという関係が得られます。これは、長方形ABCDの中で、AHの長さがacosθであることを示しています。

この問題では、三角形の角度と三角比を用いて、長方形ABCDにおける垂線AHの長さがacosθであることを示しました。三角比の基本的な定義を利用して、直角三角形を分析することで、解答に至ることができます。これにより、図形問題における三角比の重要性が理解できたのではないでしょうか。