絶対値関数 | x^2 - a の絶対値の外し方とその理由

数学の絶対値関数について、特に「| x^2 – a |」という関数の絶対値を外す場合における注意点や疑問点について、詳しく解説します。なぜ「a ≦ 0」の場合、関数が常に正になるのか、また、x^2の正負はどう考慮すべきかについて説明します。

絶対値関数の基本

絶対値とは、数が負の場合にはその符号を反転させて正にするという操作です。例えば、|x|はxが負の時には-xに、正の時にはそのままxとして定義されます。関数においてもこの概念は同様で、|f(x)|の形になると、f(x)が負であればその値を正に変換します。

問題にある「|x^2 – a|」の絶対値を外すには、x^2 – aが0以上か、0未満かを考慮しなければなりません。この場合、x^2は常に0以上なので、x^2 – aが0未満になる場合は、aが正である必要があります。

絶対値を外す方法として、x^2 – a >= 0の場合にはそのままx^2 – aとして取り扱い、x^2 – a < 0の場合には-(x^2 - a)に変換する形で進めます。

a ≦ 0の場合、x^2 – aは常に非負であり、0以上であるため、x^2 – aの絶対値を外す際に特別な処理は必要ありません。なぜなら、x^2は非負の値を取り、aも0以下なので、その差も常に0以上になるためです。この場合、絶対値を外してそのままx^2 – aとして扱うことができます。

また、x^2の正負を考慮する必要がない理由は、x^2自体が常に0以上の値であるため、どんな実数xに対しても負になることはないからです。

「| x^2 – a |」の絶対値を外す場合、a ≦ 0であれば関数は常に正となり、x^2の正負を考慮する必要はありません。これはx^2が常に0以上であるため、aが負またはゼロであれば、x^2 – aは負になることがないからです。この基本的な理解を元に、絶対値関数の展開を行うことができます。