高校数学でよく出題される関数の極値を求める問題について解説します。今回は、f(x) = -x³ + 3x² + 1 という関数の極大値とその時のxの値を求める方法を詳しく説明します。
1. 関数の導関数を求める
まず、極値を求めるために、関数f(x) の導関数 f'(x) を求めます。導関数は、関数の変化率を示し、極大値や極小値を見つけるための重要な手がかりです。
f(x) = -x³ + 3x² + 1 の場合、導関数は以下のように求めます。
f'(x) = -3x² + 6x
これで、f'(x) = -3x² + 6x が得られました。
2. 極値の候補となるxの値を求める
次に、導関数 f'(x) = -3x² + 6x を0に設定して、xの値を求めます。これにより、極値が発生するxの位置を特定することができます。
f'(x) = 0
-3x² + 6x = 0
この方程式を解くと、xで共通因数があるので、以下のように因数分解します。
-3x(x - 2) = 0
したがって、x = 0 または x = 2 となります。これらが極値の候補となるxの値です。
3. 2つのx値が極大値か極小値かを判断する
次に、x = 0 と x = 2 のそれぞれで、f(x) が極大値か極小値かを判定するために、2階導関数 f”(x) を使います。2階導関数が正なら極小値、負なら極大値になります。
まず、f”(x) を求めます。
f''(x) = -6x + 6
次に、x = 0 と x = 2 それぞれで2階導関数を計算します。
- f”(0) = -6(0) + 6 = 6 → 正なので、x = 0 は極小値の候補です。
- f”(2) = -6(2) + 6 = -6 → 負なので、x = 2 は極大値の候補です。
4. 極大値のxの値とその時のf(x)の値を求める
x = 2 の時が極大値なので、f(x) = -x³ + 3x² + 1 にx = 2 を代入して、極大値を求めます。
f(2) = -(2)³ + 3(2)² + 1 = -8 + 12 + 1 = 5
したがって、極大値はf(x) = 5 であり、x = 2 の時に達成されます。
まとめ
f(x) = -x³ + 3x² + 1 の極大値は5で、x = 2 の時に達成されることが分かりました。このように、極値を求めるには、まず導関数を求めてその解を利用し、さらに2階導関数を使って極大値か極小値かを判定します。数学の問題解決において、この手順をしっかり理解することが重要です。
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