円と直線の交点から切り取られる部分の長さが最も長くなるkの値の求め方

この問題では、座標平面上に配置された円Cと直線Lの交点から切り取られる部分の長さが最も長くなるkの値を求める方法について解説します。円Cは方程式x²-4x+y²-8y+11=0で、直線Lは(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0という式で表されています。

円と直線の方程式の整理

まず、円Cの方程式を標準形に変換します。円Cの方程式x²-4x+y²-8y+11=0を完成平方法を使って整理すると、円の中心(2,4)と半径√4=2となります。

次に、直線Lの方程式についても整理します。直線Lは(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0という式で与えられています。この方程式をkを含んだ形で表し、直線と円が交わる条件を求めます。

直線Lと円Cが交わる部分の長さを求めるためには、まず交点の座標を求め、その交点を使って切り取られる弧の長さを計算する必要があります。交点の座標を求めるために、円の方程式と直線の方程式を連立させ、kの値によって交点がどのように変化するかを調べます。

その後、交点から切り取られる部分の長さが最大になるkの値を求めるために、弧の長さの公式を使います。これにより、最も長い切り取られる部分の長さが得られるkの値を求めることができます。

最長部分の長さが得られるkの値を求めるために、微分を用いて最大値を求めます。具体的には、交点の位置に基づいて長さを式で表し、その長さの式をkに関して微分して、最大になるkを計算します。

このようにして、kの値を求めるための計算過程を解説していきます。

円と直線が交わる部分から切り取られる長さが最も長くなるkの値を求める方法を、円の方程式と直線の方程式を使って説明しました。微分を用いて最長部分の長さを求め、その最適なkの値を算出する方法を理解することができました。