定積分の計算は、特にログ関数のような複雑な関数では少し難しく感じるかもしれません。ここでは、積分 ∫[0→1]log(x+3) の計算過程を詳細に解説し、最終的に得られる答えについても説明します。
問題の理解と積分式の設定
問題は、次の定積分を計算することです：
∫[0→1] log(x+3) dx。
まず、これを計算するためには、積分の部分に適切な変数変換を行う必要があります。ですが、この場合はそのまま積分を行っても問題はありません。
積分の計算方法
ログ関数の積分を計算するためには、部分積分の公式を使用します。部分積分の公式は次のようになります。
∫ u dv = uv – ∫ v du
ここで、u = log(x+3) と置き、dv = dx とします。この場合、次の計算が必要です。
du = 1/(x+3) dx
v = x
これを部分積分の公式に代入すると、次のようになります。
∫ log(x+3) dx = x * log(x+3) – ∫ x * (1/(x+3)) dx
第二の積分の計算
次に、残りの積分 ∫ x/(x+3) dx を計算します。これを分解して積分する方法を使用します。
x/(x+3) = 1 – 3/(x+3)
したがって、積分は次のように変形できます。
∫ x/(x+3) dx = ∫ 1 dx – 3∫ 1/(x+3) dx
これを計算すると、次のようになります。
∫ 1 dx = x
∫ 1/(x+3) dx = log(x+3)
したがって、最初の積分は次のように計算できます。
∫ log(x+3) dx = x * log(x+3) – (x – 3 * log(x+3))
定積分の計算と最終的な答え
次に、この積分を定積分の範囲 [0, 1] で計算します。
∫[0→1] log(x+3) dx = [x * log(x+3) – (x – 3 * log(x+3))] |[0→1]
まず、x=1 を代入して計算します。
1 * log(1+3) – (1 – 3 * log(1+3)) = log(4) – (1 – 3 * log(4)) = log(4) – 1 + 3 * log(4)
次に、x=0 を代入して計算します。
0 * log(0+3) – (0 – 3 * log(0+3)) = – (- 3 * log(3)) = 3 * log(3)
これらを合計すると、最終的に次のような結果が得られます。
log(4) – 1 + 3 * log(4) – 3 * log(3) = log(4^3/3) – 1 = log(256/3) – 1
これを更に整理すると。
log(256/3) – log(e) = log(256/e)
まとめ
このように、定積分 ∫[0→1] log(x+3) dx の答えは log(256/e) になります。積分計算の途中での変数変換と部分積分の公式を使用することで、複雑なログ関数の積分も解くことができます。ステップごとに解説を行うことで、積分の考え方がより理解できるようになります。
コメント