微分方程式の解法: (y^2 + 4sinx)y' = cosx

この微分方程式「(y^2 + 4sinx)y’ = cosx」の解法に取り組みます。まず、この方程式は非線形の1階微分方程式であり、変数分離法を使って解くことが可能です。

1. 方程式の整理

まず、与えられた方程式「(y^2 + 4sinx)y’ = cosx」を分解します。左辺はyの関数であり、右辺はxの関数です。y’（dy/dx）を分けるために、次のように変形します。

dy/dx = cosx / (y^2 + 4sinx)

これにより、xの関数とyの関数を分けることができました。

次に、変数分離法を使ってxとyの項を分けます。式を次のように書き換えます。

(y^2 + 4sinx)dy = cosx dx

これで、xとyをそれぞれの側に分けました。

次に、両辺を積分します。

∫(y^2 + 4sinx)dy = ∫cosx dx

左辺と右辺をそれぞれ積分します。

左辺の積分は、yの関数に関して積分を行い、右辺の積分はxの関数に関して行います。

積分を行うと、次のようになります。

y^3/3 + 4cosx = sinx + C

ここで、Cは積分定数です。これが求める解になります。

この微分方程式「(y^2 + 4sinx)y’ = cosx」の解法では、変数分離法を使用して解くことができました。積分後の解は、y^3/3 + 4cosx = sinx + Cです。今後、同様の問題にもこの方法を適用できます。