不等式証明：a + b = 1のときa^2 + b^2 > abの証明方法

この問題では、与えられた条件a + b = 1に対して、a^2 + b^2 > abという不等式を証明する方法を紹介します。中学・高校数学の基本的な手法を活用して、証明を進めていきます。

問題の整理

与えられた不等式は、a + b = 1という条件のもとでa^2 + b^2 > abを証明するというものです。まず、与えられた条件を用いて不等式を変形していきましょう。

式の変形

a + b = 1を使って、a^2 + b^2の部分を変形します。まず、a^2 + b^2は次のように変形できます。

a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab

ここで、a + b = 1なので、(a + b)^2は1^2 = 1になります。よって、a^2 + b^2は次のようになります。

a^2 + b^2 = 1 – 2ab

不等式の成り立ち

次に、不等式a^2 + b^2 > abを考えます。先ほどの式を代入すると、次のようになります。

1 – 2ab > ab

これを整理すると。

1 > 3ab

abの範囲

ここで、a + b = 1なので、aとbはともに実数であり、0 < a < 1、0 < b < 1です。このことから、abは正の値を取ります。さらに、aとbが0より大きいので、ab < 1/3 となります。この条件が満たされるので、不等式1 > 3abは成立します。

まとめ

このように、式の変形を通じて、与えられた不等式a^2 + b^2 > abが成立することを証明することができました。証明のステップは、まずa^2 + b^2をa + b = 1を使って変形し、その後不等式を整理していくという流れでした。この方法を他の類似の問題にも応用できるので、ぜひ覚えておきましょう。