x^4 – 2x^3 の x → -∞ への挙動を考える方法

「x^4 – 2x^3」のような多項式の極限を求める際、xが−∞に近づくときの挙動を考えることが重要です。このような問題を解くためには、各項の増加速度を理解する必要があります。

問題の理解

まず、関数「f(x) = x^4 – 2x^3」の形に注目しましょう。この関数は2つの項、x^4とx^3を含んでおり、xが非常に小さく（x → −∞）なるときにそれぞれがどのように振る舞うかを理解することが解決の鍵です。

各項の挙動

x → −∞ のとき、x^4の項は非常に大きな値（正の値）をとります。一方、−2x^3の項は負の値をとりますが、その絶対値はx^4の項に比べると小さくなります。これにより、x → −∞ において支配的な項はx^4です。

具体的には、x^4の項が急速に増加する一方で、x^3の項は相対的に遅く増加します。このため、−∞においてこの関数はx^4の項の影響を強く受け、最終的に関数の値は +∞ へと向かいます。

極限の計算

実際にこの関数の極限を計算してみましょう。

f(x) = x^4 – 2x^3 としたとき、x → −∞ のとき、x^4は +∞ に向かうため、−2x^3の項よりも支配的であり、結果として f(x) → +∞ になります。

グラフによる確認

グラフを描くと、x → −∞ のときに関数がどのように変化するかが視覚的に確認できます。x → −∞ において、x^4の項が圧倒的に大きくなるため、関数は上向きに急激に増加します。

まとめ

「x^4 – 2x^3」をx → −∞に飛ばすとき、支配的な項はx^4であり、この項が増加するため、最終的に関数の値は +∞ に向かいます。x^3の項はx^4に比べて影響が小さくなるため、関数の挙動を決定づけるのはx^4の項です。