高校数学：曲線の接線と面積の求め方の詳細解説

この数学の問題では、曲線C:y = x³ – 3x上の点(1, -2)における接線を求め、その後、曲線で囲まれた部分の面積を計算します。ステップごとに解法を分かりやすく説明しますので、数学に苦手意識のある方でも理解しやすい内容になっています。

1. 曲線Cの接線を求める

まず、接線を求めるためには、曲線Cの方程式の微分を利用して接線の傾きを求めます。曲線Cの方程式は y = x³ – 3x です。この微分を計算すると、dy/dx = 3x² – 3 となります。

次に、点(1, -2)での接線の傾きを求めます。x = 1を代入すると、dy/dx = 3(1)² – 3 = 0 です。したがって、接線の傾きは0となります。

接線の方程式は、点(1, -2)を通り、傾きが0である直線の方程式です。直線の方程式は、y – y₁ = m(x – x₁)の形です。ここで、mは傾き、(x₁, y₁)は接点です。m = 0, (x₁, y₁) = (1, -2)なので、接線の方程式は次のようになります。

y – (-2) = 0(x – 1) となり、y = -2 が接線の方程式です。

次に、曲線と接線で囲まれた部分の面積を求めます。面積を求めるためには、積分を利用します。まず、曲線Cと接線y = -2との交点を求めます。y = x³ – 3xとy = -2を連立させると、x³ – 3x + 2 = 0 という方程式が得られます。

この方程式を解くと、x = 1 が解として得られます。したがって、曲線と接線で囲まれる部分はx = -1とx = 1の間になります。

次に、この区間での面積を求めるために、曲線と接線の間の面積を積分します。面積は、次の式で求められます。

面積 = ∫(曲線の式 – 接線の式) dx = ∫[(x³ – 3x) – (-2)] dx です。

この積分を計算すると、面積は 8/3 となります。

この問題では、接線を求めるために微分を使い、接線の方程式を求め、最終的に面積を積分を使って求めました。曲線と接線で囲まれた部分の面積は 8/3 平方単位です。計算の過程を丁寧に追うことで、数学の理解が深まります。