高校数学Aの問題：1〜7までの数から作る5桁の偶数の通り数を求める方法

高校数学Aの問題で、1〜7の数から選んで5桁の偶数を作る場合の通り数を求める問題について解説します。この問題では、偶数となるために最初の桁（1桁目）を偶数に選ぶ必要がありますが、途中の計算方法について迷うことがあります。今回は、₃C₁×₆P₄と₃P₁×₆P₄のどちらが正しいか、詳しく見ていきます。

1. 問題の設定

問題は、「1〜7の数から選んで5桁の数字を作り、その数字が偶数になる通り数を求めなさい。」という内容です。まず、5桁の数字を作るためには5つの数を選ぶ必要がありますが、そのうち最後の桁（1桁目）は偶数である必要があります。ここでは、1〜7の中で偶数は2, 4, 6の3つです。

偶数になるための条件は、5桁の数字を作る際に「最後の桁が偶数」であることです。そのため、最初に偶数を1桁目に選んで、その後の4つの桁を選んでいく必要があります。

次に、途中で計算に使う式について考えます。「₃C₁×₆P₄」と「₃P₁×₆P₄」の違いについて理解しましょう。

「₃C₁×₆P₄」は、まず偶数の桁（2, 4, 6）から1つを選び、その後、残りの4桁を1〜7の中から順番に選ぶ方法です。ここで「₃C₁」は3つの偶数から1つを選ぶ組み合わせ、「₆P₄」は残りの6つの数字から4つを順番に選ぶ方法を意味します。

一方、「₃P₁×₆P₄」は、偶数から1つを選ぶ方法が順列で計算されている点が違います。こちらは、順番を重視して選ぶという誤った計算方法です。

正しい計算方法は「₃C₁×₆P₄」です。₃C₁で偶数から1つを選び、その後₆P₄で残りの4桁を順番に選ぶ計算になります。この方法で、偶数になる通り数を求めることができます。

高校数学Aの問題で、1〜7の数から偶数を作る通り数を求める際、計算方法として「₃C₁×₆P₄」が正しいことがわかりました。問題を解く際は、組み合わせと順列をしっかり区別し、適切な方法を選ぶことが重要です。